Jméno Sučuraj dostala obec podle kostela sv. Jiří (Sv. Juraj) z první poloviny 14. století. Zdejší osídlení je však podstatně starší – již před 2300 léty tu žili Ilyrové. Podle některých pramenů tu měla svůj palác proslulá ilyrská královna Teuta (v okolí jsou pozůstatky ilyrských náhrobních pahorků). První Chorvaté sem přišli v 7. století, ale hlavní příliv uprchlíků nastal až v 15. století a dalších stoletích.
Nejstarší dochovaná stavba je františkánský, původně benediktinský klášter s kostelem sv. Jiří (Sv. Juraj), mnohokrát přestavovaný. Barokní kostel sv. Antonína (Sv. Ante) pochází ze 17. století, částečně zachovaná benátská pevnost (Fortica) ze 17. století. V té době byla proti tureckýnm a pirátským nájezdům opevněna i obec.
V bezprostřední blízkosti obce jsou dvě velmi pěkné pláže, a to na jihu pláž Česminica a na severu Bilina. Ale tím možnosti koupání nekončí – nejmalebnější pláž na jihu je Perna, na severu Mlaska, k níž vede ze Sučuraje cesta (4 km), ale i další vzdálenější, na které se většinou jezdí člunem (bývají velmi málo navštěvované).
Hodí se na klidnou dovolenou s prohlídkami ostrova a výlety např. na polostrov Pelješac.
